Calcule a derivada das funções seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a 2022ª derivada da função . Para isso, vamos precisar entender como as derivadas de funções trigonométricas funcionam e identificar um padrão que nos ajude a simplificar o processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, nesse caso, .

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas de para identificar um padrão:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:

Passo 4

Observamos que após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas de se repetem em um ciclo de quatro. Este é o padrão que vamos usar para encontrar a 2022ª derivada.

Passo 5

Para encontrar qual derivada do ciclo de quatro corresponde à 2022ª derivada, vamos dividir 2022 por 4 e verificar o resto:
Isso significa que a 2022ª derivada corresponde à segunda posição do ciclo, que vimos ser .

Resposta

A derivada da função é:

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Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em . e
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Calcule o limite .
Calcule .