Calcule a
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a 2022ª derivada da função
. Para isso, vamos precisar entender como as derivadas de funções trigonométricas funcionam e identificar um padrão que nos ajude a simplificar o processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, nesse caso,
.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas de
para identificar um padrão:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Passo 4
Observamos que após quatro derivadas, voltamos à função original
. Isso significa que as derivadas de
se repetem em um ciclo de quatro. Este é o padrão que vamos usar para encontrar a 2022ª derivada.
Passo 5
Para encontrar qual derivada do ciclo de quatro corresponde à 2022ª derivada, vamos dividir 2022 por 4 e verificar o resto:
Isso significa que a 2022ª derivada corresponde à segunda posição do ciclo, que vimos ser
.
Resposta
A
derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio
e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Calcule o limite
.
Calcule
.