Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em . e

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , onde :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Portanto, a inclinação da reta tangente é 10.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o inverso negativo da inclinação da reta tangente. Portanto:
Usando a mesma fórmula da reta:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio e esboce esse conjunto no plano cartesiano:
Encontre os pontos sobre a curva
onde a reta tangente é horizontal. A reta passando pelo ponto perpendicular à reta tangente ao gráfico de em é chamada de reta normal ao gráfico de em .
Calcule a derivada das funções seguintes:
Calcule o limite .