Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, onde
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função
para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto
:
Portanto, a inclinação da reta tangente é 10.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o inverso negativo da inclinação da reta tangente. Portanto:
Usando a mesma fórmula da reta:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.