Calcule o limite
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
por
diretamente na expressão:
Sabemos que
, então:
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada
. Quando encontramos esse tipo de indeterminação, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se o limite resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Ou seja:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: A derivada deé 0, então a derivada total do numerador é . -
Derivada do denominador
:
Agora, o limite se transforma em:
Passo 4
Agora, podemos substituir
por
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 2.
Exercícios relacionados
Calcule a
derivada das funções seguintes:
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em
.
e
Calcule
.
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio
e esboce esse conjunto no plano cartesiano: