Calcule o limite lim x e x ln (x)-ex-e.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x e x ln (x)-ex-e. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x por e diretamente na expressão:
e ln (e) - ee - e
Sabemos que ln(e) = 1, então:
e cdot 1 - ee - e = e - ee - e = 00
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada 00. Quando encontramos esse tipo de indeterminação, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite resulta em 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Ou seja:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador lim x e x ln (x)-ex-e = lim x e ddx[x ln(x) - e]ddx[x - e] :
    x ln(x) - e
    A derivada de ddx[x ln(x)] = ln(x) + 1 é 0, então a derivada total do numerador é -e.
  • Derivada do denominador ln(x) + 1:
    x - e
Agora, o limite se transforma em:
ddx[x - e] = 1

Passo 4

Agora, podemos substituir x por e na expressão simplificada:
ln(e) + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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