Calcule o limite .

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em formas indeterminadas e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de por diretamente na expressão:
Sabemos que , então:
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada . Quando encontramos esse tipo de indeterminação, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Ou seja:
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
    A derivada de é 0, então a derivada total do numerador é .
  • Derivada do denominador :
Agora, o limite se transforma em:

Passo 4

Agora, podemos substituir por na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 2.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das funções seguintes:
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada em . e
Calcule .
Para cada uma das funções abaixo, determine o conjunto de seu domínio e esboce esse conjunto no plano cartesiano: