Calcule a 2022 a derivada das funções seguintes: g(x) = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a 2022ª derivada da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas de funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas de funções trigonométricas se comportam quando aplicadas várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar quais são as derivadas de . A primeira derivada de é:
E a segunda derivada é:
Perceba que depois de duas derivações, voltamos a uma função semelhante à original, mas com um sinal negativo.

Passo 3

Agora, observamos que as derivadas de seguem um ciclo de 4 passos:

  1. E então o ciclo se repete.

Passo 4

Como precisamos encontrar a 2022ª derivada, vamos descobrir em qual ponto do ciclo ela cai. Para isso, dividimos 2022 por 4 e observamos o resto:
Isso significa que a 2022ª derivada corresponde à 2ª posição no ciclo.

Passo 5

Consultando o ciclo que estabelecemos, a 2ª derivada é:
Portanto, a 2022ª derivada de é .

Resposta

A 2022ª derivada de é .

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