Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a 2022ª derivada da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas de funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas de funções trigonométricas se comportam quando aplicadas várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar quais são as derivadas de
. A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada é:
Perceba que depois de duas derivações, voltamos a uma função semelhante à original, mas com um sinal negativo.
Passo 3
Agora, observamos que as derivadas de
seguem um ciclo de 4 passos:
-
-
-
-
E então o ciclo se repete.
Passo 4
Como precisamos encontrar a 2022ª derivada, vamos descobrir em qual ponto do ciclo ela cai. Para isso, dividimos 2022 por 4 e observamos o resto:
Isso significa que a 2022ª derivada corresponde à 2ª posição no ciclo.
Passo 5
Consultando o ciclo que estabelecemos, a 2ª derivada é:
Portanto, a 2022ª derivada de
é
.
Resposta
A 2022ª derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre o volume do cilindro delimitado por
e
. Utilize coordenadas polares.
Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares
Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto possuindo uma concentração de 5 gramas de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a quantidade de sal no tanque,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI. De qual valor se aproxima a concentração, quando o volume no tanque se aproxima do máximo, se esse máximo é o dobro do volume inicial?
Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de
.