Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a 2022ª derivada da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas de funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas de funções trigonométricas se comportam quando aplicadas várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar quais são as derivadas de
. A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada é:
Perceba que depois de duas derivações, voltamos a uma função semelhante à original, mas com um sinal negativo.
Passo 3
Agora, observamos que as derivadas de
seguem um ciclo de 4 passos:
-
-
-
-
E então o ciclo se repete.
Passo 4
Como precisamos encontrar a 2022ª derivada, vamos descobrir em qual ponto do ciclo ela cai. Para isso, dividimos 2022 por 4 e observamos o resto:
Isso significa que a 2022ª derivada corresponde à 2ª posição no ciclo.
Passo 5
Consultando o ciclo que estabelecemos, a 2ª derivada é:
Portanto, a 2022ª derivada de
é
.
Resposta
A 2022ª derivada de
é
.