Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares r = sen(3 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas polares! A questão pede para esboçarmos o gráfico da equação e encontrar a área delimitada por ela. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares, saber desenhar gráficos nessa forma e usar a fórmula de integração para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação . Em coordenadas polares, representa a distância ao centro e o ângulo. A função seno com múltiplos de geralmente gera gráficos com várias pétalas.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico de . Como o coeficiente de é 3, isso significa que teremos 3 pétalas. Cada pétala é formada quando varia de 0 a , já que vai de 0 a , completando uma oscilação completa do seno.

Passo 4

Agora, para encontrar a área de uma pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Á
Aqui, , e os limites de integração serão de a para uma pétala.

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Áé
Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 6

Substituindo na integral:
Á
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
Portanto:
Á

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Á
Sabemos que e , então:
Á

Resposta

A área delimitada pela equação é unidades de área.

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