Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de coordenadas polares! A questão pede para esboçarmos o gráfico da equação
e encontrar a área delimitada por ela. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares, saber desenhar gráficos nessa forma e usar a fórmula de integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a equação
. Em coordenadas polares,
representa a distância ao centro e
o ângulo. A função seno com múltiplos de
geralmente gera gráficos com várias pétalas.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico de
. Como o coeficiente de
é 3, isso significa que teremos 3 pétalas. Cada pétala é formada quando
varia de 0 a
, já que
vai de 0 a
, completando uma oscilação completa do seno.
Passo 4
Agora, para encontrar a área de uma pétala, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui,
, e os limites de integração serão de
a
para uma pétala.
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Para integrar
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando:
Portanto:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área delimitada pela equação
é
unidades de área.
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e
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