Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de f(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 - 8y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa encontrar todos os extremos relativos e pontos de sela da função . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de duas ou mais variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar :
Substituímos na equação (2):
Então, . O ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto crítico como extremo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então,

Passo 6

Para classificar o ponto, calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e , isso indica que o ponto é um mínimo relativo.

Resposta

A função tem um único extremo relativo em , que é um mínimo relativo. Não há pontos de sela.

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