Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa encontrar todos os extremos relativos e pontos de sela da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de duas ou mais variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar a matriz Hessiana para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
As derivadas parciais são:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar
:
Substituímos
na equação (2):
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico como extremo relativo ou ponto de sela. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então,
Passo 6
Para classificar o ponto, calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é positivo e
, isso indica que o ponto
é um mínimo relativo.
Resposta
A função
tem um único extremo relativo em
, que é um mínimo relativo. Não há pontos de sela.
Exercícios relacionados
Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto possuindo uma concentração de 5 gramas de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a quantidade de sal no tanque,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI. De qual valor se aproxima a concentração, quando o volume no tanque se aproxima do máximo, se esse máximo é o dobro do volume inicial?
Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Seja
. Determine
.
Seja
.
(a) Determine a inclinação da superfície na direção
no ponto
.
(a) Determine a inclinação da superfície