Encontre o volume do cilindro delimitado por x^2 + y^2 = a^2, z = 0 e z = H. Utilize coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um cilindro que está delimitado pelas superfícies (que é a equação de um círculo de raio no plano ), (a base inferior) e (a base superior). Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo .
A transformação das coordenadas cartesianas para polar é dada por:
E o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 3

Como estamos trabalhando com coordenadas polares, o volume do cilindro pode ser encontrado integrando a área da base multiplicada pela altura . Mas vamos fazer isso usando integração tripla para ficar mais completo.
A altura varia de 0 até , então nossa integral para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a expressão agora é:

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do cilindro é .

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