Encontre o volume do cilindro delimitado por
e
. Utilize coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um cilindro que está delimitado pelas superfícies
(que é a equação de um círculo de raio
no plano
),
(a base inferior) e
(a base superior). Vamos usar coordenadas polares para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo
.
A transformação das coordenadas cartesianas para polar é dada por:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 3
Como estamos trabalhando com coordenadas polares, o volume
do cilindro pode ser encontrado integrando a área da base multiplicada pela altura
. Mas vamos fazer isso usando integração tripla para ficar mais completo.
A altura
varia de 0 até
, então nossa integral para o volume será:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a expressão agora é:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do cilindro é
.