Questão 1. Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto possuindo uma concentração de 5 gramas de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar a quantidade de sal no tanque, Q(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI. De qual valor se aproxima a concentração, quando o volume no tanque se aproxima do máximo, se esse máximo é o dobro do volume inicial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque com água e sal. Inicialmente, temos 100 litros de mistura com 10 gramas de sal. Está entrando uma solução salina a 4 litros por minuto, cada litro com 5 gramas de sal. Sai do tanque uma mistura a 2 litros por minuto. Nosso objetivo é encontrar uma equação que descreva a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo, resolver essa equação e descobrir qual a concentração de sal quando o tanque atinge o dobro do volume inicial (200 litros).

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o volume no tanque muda com o tempo. Como entra 4 litros e sai 2 litros por minuto, o volume aumenta 2 litros a cada minuto. Então, a fórmula para o volume no tempo é:

Passo 3

Agora, vamos pensar na quantidade de sal no tanque. A taxa de variação de é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal.
  • Entrada de sal: A solução que entra tem 5 gramas de sal por litro, e entra a 4 litros por minuto. Então, a taxa de entrada é:
  • Saída de sal: A mistura que sai tem a mesma concentração que está no tanque, que é . Sai a 2 litros por minuto, então a taxa de saída é:

Passo 4

Com isso, podemos escrever a equação diferencial que modela o problema:
Esse é o nosso PVI (Problema de Valor Inicial), onde gramas.

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos reorganizar para o formato padrão:
Essa é uma equação linear, e para resolver precisamos do fator integrante.

Passo 6

Calculamos o fator integrante da seguinte maneira:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Isolamos :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução geral fica:

Passo 11

Agora, vamos encontrar a concentração quando o volume atinge 200 litros. Sabemos que:
Substituindo na equação de :

Passo 12

A concentração de sal quando o volume é 200 litros é:
çã

Resposta

A concentração de sal no tanque, quando o volume atinge 200 litros, é de aproximadamente 3,775 gramas por litro.

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