Calcule a 2022 a derivada das funções seguintes: h(x) = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular a 2022ª derivada da função . A matéria envolvida aqui é derivação, especificamente sobre derivadas de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções como várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável . Quando derivamos uma função várias vezes, estamos calculando derivadas de ordem superior.

Passo 3

Agora, vamos focar na função . Uma propriedade muito legal do é que sua derivada é a própria função. Ou seja:

Passo 4

Isso significa que, não importa quantas vezes a gente derive , a derivada sempre será . Vamos ver:
  • 1ª derivada:
  • 2ª derivada:
  • 3ª derivada:
  • E assim por diante…

Passo 5

Portanto, para qualquer número inteiro positivo , a -ésima derivada de será sempre . No nosso caso, .

Resposta

A 2022ª derivada de é:

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