Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para calcular a 2022ª derivada da função
. A matéria envolvida aqui é derivação, especificamente sobre derivadas de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções como
várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável
. Quando derivamos uma função várias vezes, estamos calculando derivadas de ordem superior.
Passo 3
Agora, vamos focar na função
. Uma propriedade muito legal do
é que sua derivada é a própria função. Ou seja:
Passo 4
Isso significa que, não importa quantas vezes a gente derive
, a derivada sempre será
. Vamos ver:
- 1ª derivada:
- 2ª derivada:
- 3ª derivada:
- E assim por diante…
Passo 5
Portanto, para qualquer número inteiro positivo
, a
-ésima derivada de
será sempre
. No nosso caso,
.
Resposta
A 2022ª derivada de
é:
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