Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares r = 1 - sen(θ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da equação em coordenadas polares e calcular a área que ela delimita. Então, estamos lidando com coordenadas polares, que é um jeito diferente de representar pontos no plano usando um ângulo ( ) e uma distância ( ) do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar gráficos em coordenadas polares e usar a fórmula de área nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a equação se comporta conforme varia de a . Vamos calcular alguns valores de para diferentes :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Com esses pontos, já podemos ter uma ideia de como o gráfico vai se parecer. Percebemos que há um ponto onde , indicando que o gráfico toca a origem nesse ângulo.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico. Em coordenadas polares, representa a distância do ponto até a origem e o ângulo com o eixo positivo dos . Com os valores calculados:
  1. Começamos em , onde .
  2. Conforme aumenta até , diminui até 0.
  3. De a , volta a aumentar até 1.
  4. De a , continua aumentando até 2.
  5. De a , retorna a 1.
O gráfico resultante é um coração chamado de “cardióide”. Ele tem uma simetria e toca a origem.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área delimitada por esse gráfico. Em coordenadas polares, a fórmula para a área de um gráfico de a é:
No nosso caso, precisamos determinar os limites de integração. Observando o gráfico, percebemos que a figura completa é traçada quando varia de a .

Passo 5

Vamos então aplicar a fórmula:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integramos cada parte:
  1. (porque a integral de de a é zero)
Para a última parte, usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 7

Agora, somamos todas as partes:

Resposta

A área delimitada pela equação é unidades de área.

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