Esboce o gráfico e encontre a área delimitada por cada equação em coordenadas polares
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da equação
em coordenadas polares e calcular a área que ela delimita. Então, estamos lidando com coordenadas polares, que é um jeito diferente de representar pontos no plano usando um ângulo (
) e uma distância (
) do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar gráficos em coordenadas polares e usar a fórmula de área nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a equação
se comporta conforme
varia de
a
. Vamos calcular alguns valores de
para diferentes
:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Com esses pontos, já podemos ter uma ideia de como o gráfico vai se parecer. Percebemos que há um ponto onde
, indicando que o gráfico toca a origem nesse ângulo.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico. Em coordenadas polares,
representa a distância do ponto até a origem e
o ângulo com o eixo positivo dos
. Com os valores calculados:
- Começamos em
, onde . - Conforme
aumenta até , diminui até 0. - De
a , volta a aumentar até 1. - De
a , continua aumentando até 2. - De
a , retorna a 1.
O gráfico resultante é um coração chamado de “cardióide”. Ele tem uma simetria e toca a origem.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área delimitada por esse gráfico. Em coordenadas polares, a fórmula para a área
de um gráfico
de
a
é:
No nosso caso, precisamos determinar os limites de integração. Observando o gráfico, percebemos que a figura completa é traçada quando
varia de
a
.
Passo 5
Vamos então aplicar a fórmula:
Primeiro, expandimos o quadrado:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integramos cada parte:
-
-
(porque a integral de de a é zero) -
Para a última parte, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Agora, somamos todas as partes:
Resposta
A área delimitada pela equação
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a 2022
derivada das funções seguintes:
Calcule a derivada:
Calcule a 2022
derivada das funções seguintes: