Calcule d/ dt F e d^2 F / dt^2.
F(t) = (3t^2, e^(-t), ln(t^2 + 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a primeira e a segunda derivada de um vetor função em relação ao tempo. O vetor dado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares comuns, como polinômios, exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a , ou seja, . A derivada de um vetor é obtida derivando cada componente separadamente.
Vamos derivar cada componente:
  1. Primeira componente:
    • A derivada de é .
    • Então, .
  2. Segunda componente:
    • A derivada de é , onde é uma constante.
    • Aqui, , então .
  3. Terceira componente:
    • A derivada de é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, .
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, vamos derivar a primeira derivada que encontramos no passo anterior.
Derivando cada componente de :
  1. Primeira componente:
    • A derivada de é simplesmente , já que a derivada de é .
  2. Segunda componente:
    • Usando a mesma regra da derivada da exponencial, .
  3. Terceira componente:
    • Aqui, usamos a regra do quociente: se , então .
    • Seja e .
    • Então, e .
    • Aplicando a regra:
Juntando tudo:

Resposta

A primeira derivada de é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados