Calcule
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a primeira e a segunda derivada de um vetor função em relação ao tempo. O vetor dado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares comuns, como polinômios, exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de um vetor é obtida derivando cada componente separadamente.
Vamos derivar cada componente:
-
Primeira componente:
- A derivada de
é . - Então,
.
- A derivada de
-
Segunda componente:
- A derivada de
é , onde é uma constante. - Aqui,
, então .
- A derivada de
-
Terceira componente:
- A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto,
.
- A derivada de
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a primeira derivada que encontramos no passo anterior.
Derivando cada componente de
:
-
Primeira componente:
- A derivada de
é simplesmente , já que a derivada de é .
- A derivada de
-
Segunda componente:
- Usando a mesma regra da derivada da exponencial,
.
- Usando a mesma regra da derivada da exponencial,
-
Terceira componente:
- Aqui, usamos a regra do quociente: se
, então . - Seja
e . - Então,
e . - Aplicando a regra:
- Aqui, usamos a regra do quociente: se
Juntando tudo:
Resposta
A primeira derivada de
é
e a segunda derivada é
.