Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelas curvas
e
no intervalo de
entre 0 e
. Para encontrar a área dessa região, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas duas curvas. A função
é uma curva trigonométrica que começa em 1 quando
, desce até -1 em
, e volta a 1 em
. Já
é simplesmente a função
subtraída de 1, então ela começa em 0 quando
, sobe até 2 em
, e desce de volta a 0 em
.
Passo 3
Vamos encontrar onde essas duas curvas se cruzam no intervalo de
. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para
:
O valor de
que satisfaz
nesse intervalo é
.
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 0 a
e de
a
. Precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo para calcular corretamente a área.
- De 0 a
: está acima de . - De
a : está acima de .
Passo 5
Vamos configurar as integrais para calcular a área. A área total será a soma das áreas das duas regiões:
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Passo 7
Agora, somamos as duas integrais para obter a área total:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
no intervalo de
é: