Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. y = cos(x), y = 1 - cos(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelas curvas e no intervalo de entre 0 e . Para encontrar a área dessa região, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas duas curvas. A função é uma curva trigonométrica que começa em 1 quando , desce até -1 em , e volta a 1 em . Já é simplesmente a função subtraída de 1, então ela começa em 0 quando , sobe até 2 em , e desce de volta a 0 em .

Passo 3

Vamos encontrar onde essas duas curvas se cruzam no intervalo de . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo para :
O valor de que satisfaz nesse intervalo é .

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes: de 0 a e de a . Precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo para calcular corretamente a área.
  • De 0 a : está acima de .
  • De a : está acima de .

Passo 5

Vamos configurar as integrais para calcular a área. A área total será a soma das áreas das duas regiões:
Á
Simplificando as expressões dentro das integrais:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Segunda Integral:

Passo 7

Agora, somamos as duas integrais para obter a área total:
Á
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e no intervalo de é:
Á

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