Calcule a integral indefinida.
integral sen^2(x2) cos ^2(x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida:
integral sin^2(x2) cos^2(x2) dx
Aqui, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, focando em integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar de algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto das funções seno e cosseno elevados ao quadrado. Sabemos que:
sin^2A cdot cos^2A = (sin A cdot cos A)^2
E usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
sin 2A = 2 sin A cos A Rightarrow sin A cos A = sin 2A2
Aplicando isso na nossa expressão:
sin^2(x2) cos^2(x2) = (sin x2)^2 = sin^2x4

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na integral original:
integral sin^2(x2) cos^2(x2) dx = integral sin^2x4 dx = 14 integral sin^2x , dx

Passo 4

Para integrar sin^2x = 1 - cos 2x2 , usamos outra identidade trigonométrica:
14 integral sin^2x , dx = 14 integral 1 - cos 2x2 dx = 18 integral (1 - cos 2x) dx
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
18 integral (1 - cos 2x) dx = 18 ( integral 1 , dx - integral cos 2x , dx )
A integral de 1 em relação a 18 ( x - sin 2x2 ) + C é , e a integral de é . Então temos:

Resposta

x8 - sin 2x16 + C

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