Calcule a integral indefinida.
integral cos (e^2 x) sen^4(e^2 x) e^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral indefinida de:
integral cos (e^2 x) sin^4(e^2 x) e^2 x , dx
Isso envolve cálculo integral, especificamente a integração de funções compostas. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a função dentro dos cossenos e senos, podemos deixar:
u = sin(e^2x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = cos(e^2x) cdot ddx(e^2x) = cos(e^2x) cdot 2e^2x em relação a du = 2 e^2x cos(e^2x) dx para substituir . Vamos calcular:
Então, temos:

Passo 4

Queremos expressar a integral em termos de cos(e^2x) e^2x dx = 12 du e integral cos(e^2x) sin^4(e^2x) e^2x dx = integral u^4 cdot 12 du = 12 integral u^4 du . Reorganizando a expressão de :
Substituindo isso na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^4 du = 12 cdot u^55 + C = u^510 + C em relação a :

Passo 6

Por fim, substituímos sin^5(e^2x)10 + C de volta em termos de :

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos (e^2 x) sin^4(e^2 x) e^2 x , dx = sin^5(e^2x)10 + C

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