Calcule e : no ponto

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de duas equações com três variáveis: , e . A tarefa é calcular as derivadas e no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivação implícita e resolver o sistema de equações para encontrar as derivadas desejadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que é a derivada de em relação a . Isso é uma derivada direta e sabemos que qualquer função derivada em relação a si mesma é igual a 1. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, precisamos usar o conceito de derivação implícita. Temos duas equações:
Vamos derivar ambas as equações em relação a .

Passo 4

Derivando a primeira equação:
Isso resulta em:

Passo 5

Derivando a segunda equação:
Isso resulta em:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 7

Vamos substituir os valores do ponto nas equações:
Para a equação (1):
Para a equação (2):

Passo 8

Agora, temos o sistema:
Podemos resolver a equação (4) para :

Passo 9

Substituímos da equação (5) na equação (3):

Resposta

e no ponto .

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