Calcule
e
:
no ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de duas equações com três variáveis:
,
e
. A tarefa é calcular as derivadas
e
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivação implícita e resolver o sistema de equações para encontrar as derivadas desejadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que
é a derivada de
em relação a
. Isso é uma derivada direta e sabemos que qualquer função derivada em relação a si mesma é igual a 1. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para isso, precisamos usar o conceito de derivação implícita. Temos duas equações:
Vamos derivar ambas as equações em relação a
.
Passo 4
Derivando a primeira equação:
Isso resulta em:
Passo 5
Derivando a segunda equação:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 7
Vamos substituir os valores do ponto
nas equações:
Para a equação (1):
Para a equação (2):
Passo 8
Agora, temos o sistema:
Podemos resolver a equação (4) para
:
Passo 9
Substituímos
da equação (5) na equação (3):