Uma calha deve ser construída com uma chapa de 120 cm de largura. Dá-se à secção transversal da calha a forma de um trapézio isósceles. Qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que a capacidade da calha seja máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma calha feita com uma chapa de 120 cm de largura e a seção transversal dela é um trapézio isósceles. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a largura da base e a inclinação das laterais para que a calha tenha a capacidade máxima, ou seja, armazene o máximo possível de água.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do trapézio isósceles. Ele tem duas bases: uma maior (vamos chamar de
) e uma menor (vamos chamar de
), e as duas laterais são iguais e inclinadas. A largura total da chapa é 120 cm, então a soma das bases e das laterais deve ser 120 cm.
Passo 3
Vamos chamar a largura da base menor de
e a largura da base maior de
. As duas laterais, por serem iguais, cada uma terá uma largura de
. Assim, temos a equação:
Essa é a restrição que nos ajuda a relacionar as dimensões da calha.
Passo 4
A capacidade da calha está relacionada à área da seção transversal, que no caso é a área do trapézio. A fórmula da área
de um trapézio é:
onde
é a altura do trapézio.
Passo 5
Para maximizar a capacidade, precisamos maximizar a área
. Vamos expressar
em termos de uma única variável. Primeiro, vamos resolver a equação da restrição para uma das variáveis. Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, precisamos relacionar a altura
às outras dimensões. Como o trapézio é isósceles, podemos usar trigonometria se conhecermos o ângulo de inclinação das laterais. Vamos chamar esse ângulo de
. Então:
Passo 7
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Agora, voltamos à área:
Substituindo
e
:
Passo 9
Para maximizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 10
Com
, substituímos na equação da restrição para encontrar
:
Passo 11
Agora, substituímos
na equação da altura:
Passo 12
Para maximizar a capacidade, a inclinação
deve ser tal que
seja máxima, ou seja,
. Isso implica que:
Resposta
A largura da base menor deve ser
e a inclinação das faces deve ser de
para que a capacidade da calha seja máxima.
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Determine os pontos críticos de cada função:
Calcule
e
:
no ponto
Determine o valor máximo da derivada direcional da função
, no ponto
e em que direção isto acontece.
Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que isto acontece.