Uma calha deve ser construída com uma chapa de 120 cm de largura. Dá-se à secção transversal da calha a forma de um trapézio isósceles. Qual deve ser a largura da base e a inclinação das faces para que a capacidade da calha seja máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma calha feita com uma chapa de 120 cm de largura e a seção transversal dela é um trapézio isósceles. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a largura da base e a inclinação das laterais para que a calha tenha a capacidade máxima, ou seja, armazene o máximo possível de água.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do trapézio isósceles. Ele tem duas bases: uma maior (vamos chamar de ) e uma menor (vamos chamar de ), e as duas laterais são iguais e inclinadas. A largura total da chapa é 120 cm, então a soma das bases e das laterais deve ser 120 cm.

Passo 3

Vamos chamar a largura da base menor de e a largura da base maior de . As duas laterais, por serem iguais, cada uma terá uma largura de . Assim, temos a equação:
Essa é a restrição que nos ajuda a relacionar as dimensões da calha.

Passo 4

A capacidade da calha está relacionada à área da seção transversal, que no caso é a área do trapézio. A fórmula da área de um trapézio é:
onde é a altura do trapézio.

Passo 5

Para maximizar a capacidade, precisamos maximizar a área . Vamos expressar em termos de uma única variável. Primeiro, vamos resolver a equação da restrição para uma das variáveis. Vamos resolver para :

Passo 6

Agora, precisamos relacionar a altura às outras dimensões. Como o trapézio é isósceles, podemos usar trigonometria se conhecermos o ângulo de inclinação das laterais. Vamos chamar esse ângulo de . Então:

Passo 7

Substituindo na segunda equação:

Passo 8

Agora, voltamos à área:
Substituindo e :

Passo 9

Para maximizar , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 10

Com , substituímos na equação da restrição para encontrar :

Passo 11

Agora, substituímos na equação da altura:

Passo 12

Para maximizar a capacidade, a inclinação deve ser tal que seja máxima, ou seja, . Isso implica que:

Resposta

A largura da base menor deve ser e a inclinação das faces deve ser de para que a capacidade da calha seja máxima.

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