Calcule
26) integral arctan e^xe^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integração por partes e substituição. Vamos precisar entender como usar essas técnicas para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx arctan(e^x) = e^x1 + e^2x , dx e v = integral e^-x , dx = -e^-x :
  • Derivando :
    Isso vem da regra da cadeia e da derivada de , que é .
  • Integrando para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral arctan e^xe^x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= -e^-x arctan(e^x) - integral (-e^-x) cdot e^x1 + e^2x , dx
= -e^-x arctan(e^x) + integral 11 + e^2x , dx

Passo 5

Ficou uma integral mais simples agora: integral 11 + t^2 cdot 1t , dt = integral 1t(1 + t^2) , dt . Vamos resolver essa parte usando uma substituição.
Vamos deixar , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 6

Essa integral pode ser decomposta em frações parciais. Podemos escrever:
1t(1 + t^2) = At + B t + C1 + t^2
Resolvendo para A, B e C, descobrimos que:
1t(1 + t^2) = 1t - t1 + t^2
Então, a integral fica:
integral 1t , dt - integral t1 + t^2 , dt = ln|t| - 12 ln|1 + t^2| + C
Voltando para = x - 12 ln(1 + e^2x) + C :

Passo 7

Agora, juntando tudo que fizemos:
integral arctan e^xe^x , dx = -e^-x arctan(e^x) + x - 12 ln(1 + e^2x) + C

Resposta

A integral -e^-x arctan(e^x) + x - 12 ln(1 + e^2x) + C é igual a:

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