Calcule
37) integral sin 7 x cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade é:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso problema, onde sin 7x cos 2x = 12 [sin(7x + 2x) + sin(7x - 2x)] = 12 [sin 9x + sin 5x] e :

Passo 4

Agora, substituímos a expressão na integral original:
integral sin 7x cos 2x , dx = integral 12 [sin 9x + sin 5x] , dx = 12 integral sin 9x , dx + 12 integral sin 5x , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral sin 9x , dx = 12 ( -19 cos 9x ) = -118 cos 9x é 12 integral sin 5x , dx = 12 ( -15 cos 5x ) = -110 cos 5x . Aplicando isso:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais:
-118 cos 9x - 110 cos 5x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral sin 7x cos 2x , dx = -118 cos 9x - 110 cos 5x + C

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