Calcule
31) integral1^2 ln x d x

Passo 1

A gente precisa resolver a integral definida de ln x de 1 até 2, ou seja, calcular . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes, para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Ela é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções e é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher du = 1x dx e v = integral dx = x porque sua derivada é mais simples, e que é fácil de integrar. Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = uv - integral v , du = x ln x - integral x cdot 1x dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x dx = integral 1 , dx = x

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, vamos aplicar os limites de integração:
x ln x - x |1^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites na expressão:
Para 2 ln 2 - 2 :
1 ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
(2 ln 2 - 2) - (-1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1

Resposta

integral1^2 ln x , dx = 2 ln 2 - 1

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