Calcule
31)

Passo 1

A gente precisa resolver a integral definida de ln x de 1 até 2, ou seja, calcular . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes, para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. Ela é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções e é baseada na fórmula:
Nesse caso, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher porque sua derivada é mais simples, e que é fácil de integrar. Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, vamos aplicar os limites de integração:

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites na expressão:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

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