Calcule
65) integral tan ^5 x sec ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de tan^5 x sec^2 x , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que facilita a integração de funções compostas.

Passo 2

Vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável. Observamos que a derivada de tan x é sec^2 x, que já está presente na nossa integral. Isso é uma pista de que podemos fazer uma substituição útil aqui.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = tan x
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = sec^2 x
Isso significa que:
du = sec^2 x , dx
Perceba que sec^2 x , dx aparece exatamente na nossa integral original, o que simplifica bastante a resolução.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = integral u^5 , du
Agora, a integral está em termos de u, que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^5 em rela��ão a u:
integral u^5 , du = u^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Finalmente, substituímos de volta u = tan x:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = tan^6 x6 + C

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