Calcule
53)

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de de até . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar conhecer identidades trigonométricas básicas e técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que é uma identidade trigonométrica que é igual a . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos integrar . Para isso, vamos usar a identidade para reescrever :

Passo 4

Com essa substituição, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original substituindo :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de até :
Calculamos para :
E para :

Resposta

O valor da integral é .

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