Calcule
53) integralpi / 3^pi / 2 sin x(1-cos ^2 x) d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida de sin x (1 - cos^2 x) de pi3 até pi2. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar conhecer identidades trigonométricas básicas e técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que 1 - cos^2 x é uma identidade trigonométrica que é igual a sin^2 x. Então, a integral fica:
integralpi3^pi2 sin x cdot sin^2 x , dx = integralpi3^pi2 sin^3 x , dx

Passo 3

Agora, precisamos integrar sin^3 x. Para isso, vamos usar a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x para reescrever sin^3 x:
sin^3 x = sin x cdot (1 - cos^2 x)

Passo 4

Com essa substituição, a integral fica:
integral sin x cdot (1 - cos^2 x) , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = cos x, então du = -sin x , dx, ou seja, sin x , dx = -du.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
- integral (1 - u^2) , du
Agora, vamos integrar termo a termo:
- ( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = - ( u - u^33 ) + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x substituindo u = cos x:
- ( cos x - cos^3 x3 ) + C = -cos x + cos^3 x3 + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de pi3 até pi2:
[ -cos x + cos^3 x3 ]pi3^pi2
Calculamos para x = pi2:
-cos(pi2) + cos^3(pi2)3 = -0 + 03 = 0
E para x = pi3:
-cos(pi3) + cos^3(pi3)3 = -(12) + (12)^33 = -12 + 124 = -1124

Resposta

O valor da integral é 1124.

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