Calcule
(28) integral 2 x(x^2+1)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo integral 2x(x^2+1)^4 d x. A matéria envolvida é cálculo integral, mais especificamente a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para a expressão, vemos que temos (x^2+1)^4 e também 2x multiplicando. Isso sugere que podemos deixar u = x^2 + 1. Então, a gente vai definir:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial d x. Derivando:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Perceba que temos exatamente 2x , dx na nossa integral original, o que fica super legal porque podemos substituir toda aquela parte por du.

Passo 4

Vamos substituir na integral:
integral 2x(x^2+1)^4 d x = integral u^4 , du
Agora, é só integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Voltando para a variável original x, temos:
(x^2+1)^55 + C

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