Calcule
(33) integral x a^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente de integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integral. Aqui, vamos escolher . Essa escolha é estratégica porque a derivada de em relação a vai nos ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx :
Isso significa que:

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos x , dx = du2 . Podemos reescrever integral x a^x^2 , dx = integral a^u cdot du2 em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, podemos tirar a constante 12 integral a^u , du para fora da integral:
A integral de em relação a é , onde é o logaritmo natural de .

Passo 6

Então, integrando, temos:
12 cdot a^uln(a) + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, substituímos 12 ln(a) cdot a^x^2 + C de volta por :

Resposta

integral x a^x^2 , dx = a^x^22 ln(a) + C

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