Calcule
(29) integral tg^4 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral de tan^4 x , dx. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar tan^4 x. Sabemos que tan^2 x = sec^2 x - 1. Então, podemos reescrever tan^4 x como (tan^2 x)^2:
tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
(sec^2 x - 1)^2 = sec^4 x - 2sec^2 x + 1
Então, a integral original fica:
integral tan^4 x , dx = integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx

Passo 4

Vamos separar essa integral em três partes:
integral sec^4 x , dx - 2integral sec^2 x , dx + integral 1 , dx

Passo 5

Sabemos que:
  • integral sec^2 x , dx = tan x + C
  • integral 1 , dx = x + C
Então, falta resolver integral sec^4 x , dx.

Passo 6

Para integrar sec^4 x, usamos a identidade sec^2 x = 1 + tan^2 x e fazemos uma substituição:
sec^4 x = (sec^2 x)^2 = (1 + tan^2 x)sec^2 x
Vamos deixar u = tan x, então du = sec^2 x , dx.

Passo 7

Substituindo na integral:
integral sec^4 x , dx = integral (1 + u^2) , du = integral 1 , du + integral u^2 , du = u + u^33 + C
Voltando para x:
integral sec^4 x , dx = tan x + tan^3 x3 + C

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral tan^4 x , dx = ( tan x + tan^3 x3 ) - 2(tan x) + x + C
Simplificando:
integral tan^4 x , dx = x - tan x + tan^3 x3 + C

Resposta

A integral de tan^4 x , dx é:
x - tan x + tan^3 x3 + C

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