Calcule
29) integral1^2 x(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em técnicas de integração. Vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos identificar as partes u = (ln x)^2 e dv = x , dx e na nossa integral. Aqui, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral x , dx = x^22 .
Começando com , derivamos em relação a :
Para , integramos para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral1^2 x(ln x)^2 , dx = uv gr|1^2 - integral1^2 v , du
Substituindo = [(ln x)^2 cdot x^22]1^2 - integral1^2 x^22 cdot 2 ln xx , dx , e :

Passo 5

Simplificando a expressão da integral:
= [x^22 (ln x)^2 ]1^2 - integral1^2 x ln x , dx
Agora, precisamos calcular a segunda integral usando novamente integração por partes.

Passo 6

Vamos aplicar integração por partes na nova integral u = ln x e dv = x , dx .
Escolhemos:
du = 1x , dx e v = x^22
Calculamos e :

Passo 7

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
= [ln x cdot x^22] - integral x^22 cdot 1x , dx
= x^22 ln x - 12 integral x , dx

Passo 8

Calculando a última integral:
x^22 ln x - 12 cdot x^22 = x^22 ln x - x^24
Agora, substituímos de volta na expressão anterior:
integral1^2 x ln x , dx = [x^22 ln x - x^24]1^2

Passo 9

Calculando os limites de integração:
Para 2^22 ln 2 - 2^24 = 2 ln 2 - 1 :
1^22 ln 1 - 1^24 = 0 - 14 = -14
Para integral1^2 x ln x , dx = (2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 34 :
Portanto:

Passo 10

Voltando à nossa expressão original:
integral1^2 x(ln x)^2 , dx = [x^22 (ln x)^2 ]1^2 - (2 ln 2 - 34)
Calculando os limites:
Para 2^22 (ln 2)^2 = 2 (ln 2)^2 :
1^22 (ln 1)^2 = 0
Para integral1^2 x(ln x)^2 , dx = 2 (ln 2)^2 - (2 ln 2 - 34) :
= 2 (ln 2)^2 - 2 ln 2 + 34
Então:

Resposta

integral1^2 x(ln x)^2 , dx = 2 (ln 2)^2 - 2 ln 2 + 34

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