Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em técnicas de integração. Vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Vamos identificar as partes e na nossa integral. Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos calcular e .
Começando com , derivamos em relação a :
Para , integramos para encontrar :
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo = [(ln x)^2 cdot x^22]1^2 - integral1^2 x^22 cdot 2 ln xx , dx , e :
Passo 5
Simplificando a expressão da integral:
= [x^22 (ln x)^2 ]1^2 - integral1^2 x ln x , dx
Agora, precisamos calcular a segunda integral usando novamente integração por partes.
Passo 6
Vamos aplicar integração por partes na nova integral u = ln x e dv = x , dx .
Escolhemos:
du = 1x , dx e v = x^22
Calculamos e :
Passo 7
Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
= [ln x cdot x^22] - integral x^22 cdot 1x , dx
= x^22 ln x - 12 integral x , dx
Passo 8
Calculando a última integral:
x^22 ln x - 12 cdot x^22 = x^22 ln x - x^24
Agora, substituímos de volta na expressão anterior:
integral1^2 x ln x , dx = [x^22 ln x - x^24]1^2
Passo 9
Calculando os limites de integração:
Para 2^22 ln 2 - 2^24 = 2 ln 2 - 1 :
1^22 ln 1 - 1^24 = 0 - 14 = -14
Para integral1^2 x ln x , dx = (2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 34 :