(a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele com a menor área é um quadrado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, entre todos os retângulos com uma área fixa, aquele que tem o menor perímetro é um quadrado. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e um pouquinho de cálculo básico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas para a área e o perímetro de um retângulo. Se chamarmos o comprimento de um retângulo de
e a largura de
:
- Área (A):
- Perímetro §:
Passo 3
Sabemos que a área é fixa, ou seja,
é uma constante. Queremos encontrar os valores de
e
que minimizam o perímetro
.
Passo 4
Vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a fórmula da área. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do perímetro:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação para
:
Passo 8
Agora que encontramos
, usamos a relação
:
Passo 9
Observamos que
, o que significa que o retângulo é um quadrado.
Resposta
Portanto, entre todos os retângulos com uma área dada, o quadrado é o que possui o menor perímetro.