(a) Mostre que, de todos os retângulos com uma dada área, aquele com a menor área é um quadrado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, entre todos os retângulos com uma área fixa, aquele que tem o menor perímetro é um quadrado. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e um pouquinho de cálculo básico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas básicas para a área e o perímetro de um retângulo. Se chamarmos o comprimento de um retângulo de e a largura de :
  • Área (A):
  • Perímetro §:

Passo 3

Sabemos que a área é fixa, ou seja, é uma constante. Queremos encontrar os valores de e que minimizam o perímetro .

Passo 4

Vamos expressar uma das variáveis em função da outra usando a fórmula da área. Por exemplo, podemos resolver para :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do perímetro:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação para :

Passo 8

Agora que encontramos , usamos a relação :

Passo 9

Observamos que , o que significa que o retângulo é um quadrado.

Resposta

Portanto, entre todos os retângulos com uma área dada, o quadrado é o que possui o menor perímetro.

Exercícios relacionados

Questão 4 (3 pontos). Dadas as funções e definidas da seguinte forma: . Assinale o item que apresenta corretamente .
a) .
b) .
.
d) .
Questão 2 (4 pontos). Escreva o valor exato das expressões a seguir:
3.
Calcule
7)
Calcule
29)