Calcule
7) integral0^pi / 6 cos ^3 x d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral definida de cos^3 x de 0 até pi6. Para isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição e identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cos^3 x de uma maneira mais fácil de integrar. Podemos separar um cos x e escrever:
cos^3 x = cos x cdot cos^2 x

Passo 3

Agora, usamos uma identidade trigonométrica que diz que cos^2 x = 1 - sin^2 x. Substituindo isso na expressão anterior:
cos^3 x = cos x cdot (1 - sin^2 x)

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = sin x, então a derivada de u em relação a x é:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi6 cos^3 x , dx = integral0^pi6 cos x cdot (1 - sin^2 x) , dx = integral0^12 (1 - u^2) , du
(Lembrando que quando x = 0, u = sin 0 = 0 e quando x = pi6, u = sin pi6 = 12)

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a u:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C
Como é uma integral definida, avaliamos de 0 a 12:
[ u - u^33 ]0^12 = ( 12 - (12)^33 ) - ( 0 - 0 ) = 12 - 124 = 1224 - 124 = 1124

Resposta

O valor da integral é 1124.

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