Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui: primeiro, multiplicar os números complexos , e depois usar esse resultado para mostrar que . Vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como relacionar isso com a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os números complexos e . Para isso, usamos a regra de multiplicação de binômios:
Aplicando isso aos nossos números:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 3
Agora que temos o produto dos números complexos, , vamos entender o que isso significa no plano complexo. Esse número pode ser representado como um ponto com coordenadas .
Para encontrar o ângulo que esse ponto forma com o eixo real (o argumento), usamos a função arco-tangente:
Aplicando os valores:
Sabemos que .
Passo 4
Vamos agora considerar os números complexos originais: e . Cada um deles tem seu próprio argumento:
Para :
Para :
Quando multiplicamos dois números complexos, os argumentos se somam. Ou seja:
Passo 5
Sabemos que o argumento do produto é , e também que esse argumento é a soma dos argumentos individuais dos números originais. Portanto: