Calcule e deduza a igualdade

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui: primeiro, multiplicar os números complexos , e depois usar esse resultado para mostrar que . Vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como relacionar isso com a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os números complexos e . Para isso, usamos a regra de multiplicação de binômios:
Aplicando isso aos nossos números:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora que temos o produto dos números complexos, , vamos entender o que isso significa no plano complexo. Esse número pode ser representado como um ponto com coordenadas .
Para encontrar o ângulo que esse ponto forma com o eixo real (o argumento), usamos a função arco-tangente:
á
Aplicando os valores:
Sabemos que .

Passo 4

Vamos agora considerar os números complexos originais: e . Cada um deles tem seu próprio argumento:
Para :
Para :
Quando multiplicamos dois números complexos, os argumentos se somam. Ou seja:

Passo 5

Sabemos que o argumento do produto é , e também que esse argumento é a soma dos argumentos individuais dos números originais. Portanto:

Resposta

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