Calcule
e deduza a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes aqui: primeiro, multiplicar os números complexos
, e depois usar esse resultado para mostrar que
. Vamos precisar entender como multiplicar números complexos e como relacionar isso com a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os números complexos
e
. Para isso, usamos a regra de multiplicação de binômios:
Aplicando isso aos nossos números:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora que temos o produto dos números complexos,
, vamos entender o que isso significa no plano complexo. Esse número pode ser representado como um ponto com coordenadas
.
Para encontrar o ângulo que esse ponto forma com o eixo real (o argumento), usamos a função arco-tangente:
Aplicando os valores:
Sabemos que
.
Passo 4
Vamos agora considerar os números complexos originais:
e
. Cada um deles tem seu próprio argumento:
Para
:
Para
:
Quando multiplicamos dois números complexos, os argumentos se somam. Ou seja:
Passo 5
Sabemos que o argumento do produto
é
, e também que esse argumento é a soma dos argumentos individuais dos números originais. Portanto: