Demonstre a fórmula de De Moivre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar a fórmula de De Moivre, que é uma relação importante na trigonometria e nos números complexos. Vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e potências, então vamos destrinchar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma polar:
Aqui,
é o módulo do número complexo (a distância até a origem no plano complexo) e
é o argumento (o ângulo que o número faz com o eixo real).
Passo 3
No nosso caso, o número complexo é . Note que aqui, o módulo
, porque:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Queremos encontrar
, ou seja, elevar
à potência
. Na forma polar, elevar um número complexo a uma potência é mais simples. A regra é:
Como no nosso caso
, isso simplifica para:
Passo 5
Então, aplicando essa regra ao nosso
, temos:
Essa é exatamente a fórmula de De Moivre que queríamos demonstrar!
Resposta
Demonstramos que, para todo número inteiro
,
Isso valida a fórmula de De Moivre conforme solicitado.
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