Demonstre a fórmula de De Moivre

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar a fórmula de De Moivre, que é uma relação importante na trigonometria e nos números complexos. Vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e potências, então vamos destrinchar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma polar:
Aqui, é o módulo do número complexo (a distância até a origem no plano complexo) e é o argumento (o ângulo que o número faz com o eixo real).

Passo 3

No nosso caso, o número complexo é . Note que aqui, o módulo , porque:
Então, podemos escrever:

Passo 4

Queremos encontrar , ou seja, elevar à potência . Na forma polar, elevar um número complexo a uma potência é mais simples. A regra é:
Como no nosso caso , isso simplifica para:

Passo 5

Então, aplicando essa regra ao nosso , temos:
Essa é exatamente a fórmula de De Moivre que queríamos demonstrar!

Resposta

Demonstramos que, para todo número inteiro ,
Isso valida a fórmula de De Moivre conforme solicitado.

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