Calcule
e deduza a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
e, a partir desse cálculo, deduzir que
Vamos usar operações com números complexos e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para isso, podemos usar a fórmula do binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios.
Passo 3
Aplicando o binômio de Newton:
Vamos calcular cada termo dessa soma.
Passo 4
Calculando cada termo individualmente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
(Lembre que) -
Para
:
(Como) -
Para
:
(Porque)
Passo 5
Agora, somamos todos os termos:
Então,
.
Passo 6
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Passo 7
Simplificando:
Lembrando que
:
Passo 8
Então, o cálculo ficou assim:
Passo 9
Para deduzir a igualdade envolvendo arctan, usamos a conhecida fórmula de Machin para calcular
:
Essa identidade surge de expansões em séries e propriedades trigonométricas relacionadas aos números complexos que acabamos de calcular.
Resposta
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centrada no número
.
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e
no plano são colineares se, e somente se