Calcule (5-i)^4 (1+i) e deduza a igualdade
pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular e, a partir desse cálculo, deduzir que
Vamos usar operações com números complexos e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para isso, podemos usar a fórmula do binômio de Newton, que nos ajuda a expandir potências de binômios.

Passo 3

Aplicando o binômio de Newton:
Vamos calcular cada termo dessa soma.

Passo 4

Calculando cada termo individualmente:
  • Para k = 0:
  • Para k=1:
  • Para k = 2:

    (Lembre que )
  • Para k = 3:

    (Como )
  • Para k = 4:

    (Porque )

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
Então, .

Passo 6

Agora, multiplicamos esse resultado por :

Passo 7

Simplificando:
Lembrando que :

Passo 8

Então, o cálculo ficou assim:

Passo 9

Para deduzir a igualdade envolvendo arctan, usamos a conhecida fórmula de Machin para calcular pi:
Essa identidade surge de expansões em séries e propriedades trigonométricas relacionadas aos números complexos que acabamos de calcular.

Resposta

pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

Exercícios relacionados