Mostre que três pontos e no plano são colineares se, e somente se

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três pontos , e no plano e queremos mostrar que esses três pontos estão alinhados, ou seja, são colineares, se e somente se o determinante da seguinte matriz for igual a zero:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um determinante ser igual a zero e como isso se relaciona com pontos colineares no plano.

Passo 2

Vamos começar lembrando que no plano complexo, cada ponto pode ser representado por um número complexo. Por exemplo, o ponto pode ser representado pelo número complexo , onde e são as coordenadas no plano, e é o conjugado de , ou seja, .

Passo 3

O determinante da matriz dada nos ajuda a verificar se há uma relação linear entre os pontos , e . Se o determinante for zero, isso indica que existe uma combinação linear dos pontos que resulta em zero, o que significa que os pontos estão alinhados.

Passo 4

Vamos calcular o determinante para ver o que acontece quando os pontos são colineares. O determinante de uma matriz é calculado da seguinte maneira:
Simplificando isso, obtemos uma expressão que depende das coordenadas dos pontos.

Passo 5

Agora, se assumirmos que os pontos , e são colineares, isso significa que as diferenças entre eles são proporcionais. Ou seja, existe um número real tal que:
Essa relação implica que as três coordenadas estão em uma linha reta, o que deve fazer com que o determinante seja zero, conforme calculado anteriormente.

Passo 6

Por outro lado, se o determinante for zero, isso implica que a única solução para a combinação linear dos pontos é trivial, ou seja, os pontos são colineares. Não há uma segunda dimensão sendo “explorada”, confirmando que todos os pontos estão em uma única linha.

Resposta

Portanto, mostramos que três pontos , e no plano são colineares se e somente se o determinante da matriz dada for igual a zero:

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(i) se então e é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou , ou ou .
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se então por (i). Por outro lado, se então , por (i) novamente. Conclua que o corpo não pode admitir uma ordem.