Calcule d x / d x e d/y d/x : { x^2 - y^2 = z ; x^2 + y^2 + z^2 = 74 } no ponto P(3, 1, 8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas e a partir do sistema de equações:
Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, para encontrar no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso é bem tranquilo porque a derivada de em relação a é sempre 1. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Para isso, precisamos diferenciar as duas equações do sistema em relação a .
Começando pela primeira equação:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a segunda equação:
Derivando em relação a :

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações com as derivadas e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação, isolamos :
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 7

Simplificando a equação:
Agrupando os termos com :
Fatorando :

Passo 8

Isolando :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos substituir os valores do ponto :
Substituindo na expressão:

Resposta

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