Calcule
e
:
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas
e
a partir do sistema de equações:
Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, para encontrar
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso é bem tranquilo porque a derivada de
em relação a
é sempre 1. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Para isso, precisamos diferenciar as duas equações do sistema em relação a
.
Começando pela primeira equação:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a segunda equação:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações com as derivadas
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 6
Primeiro, da primeira equação, isolamos
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 8
Isolando
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos substituir os valores do ponto
:
Substituindo na expressão:
Resposta
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Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que isto acontece.
Determine o valor máximo da derivada direcional da função
, no ponto
e em que direção isto acontece.
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Determine a equação do plano que passa pelo ponto
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