Determine a equação do plano que passa pelo ponto e que determina com os planos coordenados, o tetraedro de volume mínimo. Calcule este volume.
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para encontrarmos a equação de um plano que passa pelo ponto e forma um tetraedro de volume mínimo com os planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e cálculo de volumes de tetraedros no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Aqui, , e são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o termo constante. Como o plano passa pelo ponto , podemos substituir essas coordenadas na equação do plano:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os coeficientes , e . Sabemos que o plano forma um tetraedro com os planos coordenados , e . Para isso, vamos encontrar onde o plano intercepta cada um dos eixos:
Interseção com o eixo :
Ponto de interseção:
Interseção com o eixo :
Ponto de interseção:
Interseção com o eixo :
Ponto de interseção:
Passo 4
O volume do tetraedro formado pelo plano e pelos planos coordenados pode ser calculado usando a fórmula:
No caso dos tetraedros formados pelos planos coordenados, essa fórmula simplifica para:
Queremos minimizar esse volume.
Passo 5
Para minimizar , vamos relacionar , , e usando a equação (1):
Substituindo na expressão do volume:
Para simplificar, vamos considerar que , e sejam positivos (já que estamos interessados no valor absoluto do volume). Assim, podemos reescrever:
Passo 6
Para encontrar o mínimo de , podemos assumir que os coeficientes são proporcionais. Vamos supor que:
Onde é uma constante positiva. Substituindo na equação da soma:
Logo, .
Agora, substituindo na fórmula do volume:
Então, o volume mínimo é 18 unidades cúbicas.
Resposta
A equação do plano é e o volume mínimo do tetraedro formado é unidades cúbicas.