Determine o valor máximo da derivada direcional da função , no ponto e em que direção isto acontece.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também descobrir em que direção esse máximo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 6
O valor máximo da derivada direcional é igual ao módulo do gradiente no ponto considerado. Calculamos o módulo de :
Passo 7
A direção na qual esse valor máximo ocorre é a direção do próprio gradiente. Para encontrar um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional é e ocorre na direção do vetor unitário .