Determine o valor máximo da derivada direcional da função , no ponto e em que direção isto acontece.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto e também descobrir em que direção esse máximo acontece. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional é igual ao módulo do gradiente no ponto considerado. Calculamos o módulo de :

Passo 7

A direção na qual esse valor máximo ocorre é a direção do próprio gradiente. Para encontrar um vetor unitário nessa direção, dividimos o gradiente pelo seu módulo:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é e ocorre na direção do vetor unitário .

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Determine os pontos críticos de cada função:
Determine a derivada direcional mínima da função , no ponto e a direção em que isto acontece.
Calcule e : no ponto