Determine a derivada direcional mínima da função
, no ponto
e a direção em que isto acontece.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a derivada direcional mínima da função
no ponto
e a direção em que essa derivada mínima ocorre. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas direcionais e gradiente, para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada direcional. Ela nos informa a taxa de variação da função
na direção de um vetor específico. Para encontrar a derivada direcional mínima, vamos utilizar o vetor gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento da função.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 4
No ponto
, substituímos os valores de
e
no gradiente:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
A derivada direcional mínima ocorre na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção da derivada direcional mínima é:
Já que o gradiente já está normalizado (magnitude 1), não precisamos ajustar a direção.
Passo 6
Agora, calculamos a derivada direcional mínima. Como a derivada direcional máxima é a magnitude do gradiente, a mínima será o negativo dessa magnitude. No nosso caso:
Resposta
A derivada direcional mínima da função
no ponto
é
e ocorre na direção
.
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, no ponto
e em que direção isto acontece.
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Calcule
e
:
no ponto
Determine os pontos críticos de cada função: