Determine a derivada direcional mínima da função , no ponto e a direção em que isto acontece.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada direcional mínima da função no ponto e a direção em que essa derivada mínima ocorre. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas direcionais e gradiente, para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada direcional. Ela nos informa a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para encontrar a derivada direcional mínima, vamos utilizar o vetor gradiente da função, que aponta na direção de maior crescimento da função.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto,

Passo 4

No ponto , substituímos os valores de e no gradiente:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 5

A derivada direcional mínima ocorre na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção da derivada direcional mínima é:
Já que o gradiente já está normalizado (magnitude 1), não precisamos ajustar a direção.

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional mínima. Como a derivada direcional máxima é a magnitude do gradiente, a mínima será o negativo dessa magnitude. No nosso caso:
í

Resposta

A derivada direcional mínima da função no ponto é e ocorre na direção .

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Calcule e : no ponto
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