Determine os pontos críticos de cada função: z = x^3 - y^2 - 12x + 4y + 2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Isso é útil pra gente entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . Derivadas parciais são tipo as derivadas normais, mas a gente varia uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, pra encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Primeiro, resolvendo :
Então, ou .

Passo 5

Agora, resolvendo :
Então, .

Passo 6

Com isso, os pontos críticos são as combinações de e que encontramos. Como é fixo, temos dois pontos críticos:

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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