Calcule
:
Passo 1
Beleza, o exercício está pedindo para calcular a derivada de uma função vetorial em relação ao tempo
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções componente por componente de um vetor.
Passo 2
A função vetorial dada é:
Para encontrar
, precisamos derivar cada uma das três componentes separadamente em relação a
.
Passo 3
Primeira componente:
A derivada de
em relação a
é:
Isso vem da regra do poder, onde derivamos
para
.
Passo 4
Segunda componente:
A derivada de
em relação a
é:
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Passo 5
Terceira componente:
Para derivar
em relação a
, aplicamos a regra da cadeia:
Primeiro derivamos o logaritmo e depois multiplicamos pela derivada da função dentro do logaritmo.
Resposta
Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Determine o gradiente das seguintes funções:
Calcule
:
Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por
. Sua velocidade inicial é
e seu deslocamento inicial é
. Encontre sua função posição
.