Calcule :

Passo 1

Beleza, o exercício está pedindo para calcular a derivada de uma função vetorial em relação ao tempo . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções componente por componente de um vetor.

Passo 2

A função vetorial dada é:
Para encontrar , precisamos derivar cada uma das três componentes separadamente em relação a .

Passo 3

Primeira componente:
A derivada de em relação a é:
Isso vem da regra do poder, onde derivamos para .

Passo 4

Segunda componente:
A derivada de em relação a é:
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 5

Terceira componente:
Para derivar em relação a , aplicamos a regra da cadeia:
Primeiro derivamos o logaritmo e depois multiplicamos pela derivada da função dentro do logaritmo.

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada de em relação a é:

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Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Determine o gradiente das seguintes funções:
Calcule :
Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por . Sua velocidade inicial é e seu deslocamento inicial é . Encontre sua função posição .