Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função
definida para todos os pontos no plano
exceto no ponto
. A tarefa é provar que essa função é uma solução da equação diferencial parcial
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e depois verificar se a soma dessas derivadas é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
.
A função é:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
e
.
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Percebemos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação diferencial parcial
. Logo,
é uma solução da equação dada.
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.
Calcule
:
Calcule
: