Seja f: R^2 \ {(0,0)} -> R, definida por f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2). Prove que f é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
5.2 u_xx + u_yy = 4 u^2.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos uma função definida para todos os pontos no plano exceto no ponto . A tarefa é provar que essa função é uma solução da equação diferencial parcial . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e , e depois verificar se a soma dessas derivadas é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de em relação a e .
A função é:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, e .
Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, somamos e :

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Percebemos que:

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação diferencial parcial . Logo, é uma solução da equação dada.

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