Determine o gradiente das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o gradiente da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
e
como constantes enquanto derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
Passo 4
Por último, calculamos a derivada parcial em relação a
,
. Com
e
constantes.
Resposta
Então, o gradiente da função
é dado pelo vetor:
Exercícios relacionados
Determine o gradiente das seguintes funções:
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Calcule
: