Determine o gradiente das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o gradiente da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente tratando de derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos e como constantes enquanto derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.

Passo 4

Por último, calculamos a derivada parcial em relação a , . Com e constantes.

Resposta

Então, o gradiente da função é dado pelo vetor:

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Determine o gradiente das seguintes funções: .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .
Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.
Calcule :