Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por . Sua velocidade inicial é e seu deslocamento inicial é . Encontre sua função posição .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move numa reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por . A gente também sabe qual é a velocidade inicial dela, , e a posição inicial, . O objetivo aqui é encontrar a função posição , ou seja, descobrir onde a partícula estará em qualquer instante de tempo .
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Então, basicamente, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade . Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para achar , vamos integrar em relação a :

Passo 3

Vamos fazer a integração:
Simplificando:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 4

Sabemos que . Vamos substituir na expressão de :
Então, a função de velocidade fica:

Passo 5

Agora que temos , vamos encontrar a função posição . Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para achar , vamos integrar em relação a :

Passo 6

Vamos realizar a integração:
Simplificando:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 7

Sabemos que . Vamos substituir na expressão de :
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é cm.

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Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Sejam e . Calcule