Uma particula se move em uma reta e tem aceleração dada por
. Sua velocidade inicial é
e seu deslocamento inicial é
. Encontre sua função posição
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma partícula que se move numa reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por
. A gente também sabe qual é a velocidade inicial dela,
, e a posição inicial,
. O objetivo aqui é encontrar a função posição
, ou seja, descobrir onde a partícula estará em qualquer instante de tempo
.
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, porque aceleração é a derivada da velocidade e velocidade é a derivada da posição. Então, basicamente, vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade
. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para achar
, vamos integrar
em relação a
:
Passo 3
Vamos fazer a integração:
Simplificando:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos substituir
na expressão de
:
Então, a função de velocidade fica:
Passo 5
Agora que temos
, vamos encontrar a função posição
. Sabemos que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para achar
, vamos integrar
em relação a
:
Passo 6
Vamos realizar a integração:
Simplificando:
Aqui,
é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 7
Sabemos que
. Vamos substituir
na expressão de
:
Então, a função posição fica:
Resposta
A função posição da partícula é
cm.
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Calcule
:
Calcule
:
Use frações parciais para achar a solução das seguintes integrais:
;
Sejam
e
. Calcule