Calcule
66) integral sec ^5 3 x tan 3 x d x

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Olha só, a gente precisa calcular a integral:
integral sec^5(3x) tan(3x) , dx
Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é bem útil quando a gente consegue identificar uma parte da função cuja derivada também está presente na integral. Além disso, precisamos lembrar que a derivada de é , o que vai ser importante aqui.

Passo 2

Escolhendo a Substituição
Vamos escolher uma parte da função para substituir por uma variável u = sec(3x) . Aqui, vamos deixar ser igual a , porque sabemos que a derivada de envolve , que já aparece na nossa integral.
Então, deixamos:

Passo 3

Calculando a Derivada de dudx = 3 sec(3x) tan(3x) em Relação a du = 3 sec(3x) tan(3x) , dx
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Isolando sec(3x) tan(3x) , dx = 13 , du
Queremos expressar em termos de :

Passo 5

Reescrevendo a Integral em Termos de integral sec^5(3x) tan(3x) , dx
Voltando à nossa integral original:
integral u^5 cdot 13 , du = 13 integral u^5 , du
Podemos reescrever como . Como , temos:

Passo 6

Integrando em Termos de 13 integral u^5 , du = 13 cdot u^66 + C = u^618 + C
Agora, integramos em relação a :

Passo 7

Voltando para a Variável Original (sec(3x))^618 + C
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

integral sec^5(3x) tan(3x) , dx = sec^6(3x)18 + C

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