Calcule
68)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
onde
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para resolver integrais de produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a segunda integral
usando integração por partes novamente. Desta vez, definimos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes na segunda integral:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo a
:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão de
a
. Observamos que, para
, o termo
tende a zero mais rápido que qualquer polinômio cresce. Portanto, todos os termos se anulam no infinito. Avaliando em
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Calcule
40)
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Enuncie precisamente um dos seguintes teoremas: Teorema do Anulamento, Teorema do Valor Intermediário, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor Médio. Faça um desenho para ilustrar o teorema que você enunciou.
Calcule
44)
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Calcule
39)
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