Calcule
68)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral onde . Isso está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para resolver integrais de produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda integral usando integração por partes novamente. Desta vez, definimos:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na segunda integral:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Distribuindo a :

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão de a . Observamos que, para , o termo tende a zero mais rápido que qualquer polinômio cresce. Portanto, todos os termos se anulam no infinito. Avaliando em :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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Calcule
40)
Enuncie precisamente um dos seguintes teoremas: Teorema do Anulamento, Teorema do Valor Intermediário, Teorema de Weierstrass, Teorema do Valor Médio. Faça um desenho para ilustrar o teorema que você enunciou.
Calcule
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Calcule
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