Calcule
68) integral0^+infty e^-s t t^2 d t, s>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral onde . Isso está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para resolver integrais de produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = t^2 e dv = e^-s t , dt e . Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddt(t^2) , dt = 2t , dt e v = integral e^-s t , dt = -1s e^-s t :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral t^2 e^-s t , dt = u , v - integral v , du = t^2 (-1s e^-s t) - integral (-1s e^-s t) (2t) , dt
Simplificando:
= -t^2s e^-s t + 2s integral t e^-s t , dt

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda integral u = t e dv = e^-s t , dt usando integração por partes novamente. Desta vez, definimos:
du = dt
Calculando v = -1s e^-s t e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na segunda integral:
integral t e^-s t , dt = u , v - integral v , du = t (-1s e^-s t) - integral (-1s e^-s t) , dt
Simplificando:
= -ts e^-s t + 1s integral e^-s t , dt = -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
-t^2s e^-s t + 2s (-ts e^-s t - 1s^2 e^-s t)
Distribuindo a -t^2s e^-s t - 2ts^2 e^-s t - 2s^3 e^-s t :

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão de -0s e^0 - 0s^2 e^0 - 2s^3 e^0 = -2s^3 a . Observamos que, para , o termo tende a zero mais rápido que qualquer polinômio cresce. Portanto, todos os termos se anulam no infinito. Avaliando em :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integral0^+infty e^-s t t^2 , dt = 2s^3

Exercícios relacionados