Calcule
44) integral tan x raiz[3]sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas e raízes. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Sabemos que integral tan x raiz[3]sec x , dx = integral sin xcos x cdot ( 1cos x )^1/3 , dx e . Então, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Simplificando os expoentes de sin xcos x cdot ( 1cos x )^1/3 = sin x cdot cos^-1 x cdot cos^-1/3 x = sin x cdot cos^-4/3 x :
integral sin x cdot cos^-4/3 x , dx
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Então, a derivada de du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx em relação a é:

Passo 5

Substituindo integral sin x cdot cos^-4/3 x , dx = integral -u^-4/3 , du e na integral, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar em termos de integral -u^-4/3 , du = - cdot u^-1/3-1/3 + C = 3u^-1/3 + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos 3u^-1/3 + C = 3cos^-1/3 x + C = 3 ( sec x )^1/3 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a .

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