Calcule
39) integral cos x sin 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício tá na matéria de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade é:
sin A cos B = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
No nosso caso, sin 2x cos x = 12 [sin(2x + x) + sin(2x - x)] = 12 [sin 3x + sin x] e . Aplicando essa identidade:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão original pela identidade aplicada:
integral cos x sin 2x , dx = integral 12 (sin 3x + sin x) , dx = 12 integral (sin 3x + sin x) , dx

Passo 4

Vamos separar a integral:
12 ( integral sin 3x , dx + integral sin x , dx )
Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que:
integral sin kx , dx = -1k cos kx + C

Passo 5

Aplicando a regra de integração:
12 ( -13 cos 3x - cos x ) + C
Simplificando:
-16 cos 3x - 12 cos x + C

Resposta

A integral -16 cos 3x - 12 cos x + C é igual a:

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