Calcule
57) integral 1x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1x ln x , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável nova para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para a expressão 1x ln x, percebemos que o denominador tem x e ln x. Vamos deixar u = ln x. Assim, precisamos encontrar du em termos de dx.

Passo 3

Calculando du, temos:
du = 1x , dx
Isso significa que 1x , dx = du. Podemos substituir essa parte da integral por du.

Passo 4

Agora, substituindo na integral original:
integral 1x ln x , dx = integral 1u , du
Agora a integral ficou mais simples: integral 1u , du.

Passo 5

Integrando 1u em relação a u, temos:
integral 1u , du = ln |u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição u = ln x, vamos substituir de volta:
ln |u| + C = ln |ln x| + C
Como ln x é definido para x > 0, podemos simplificar para ln(ln x) + C.

Resposta

A integral integral 1x ln x , dx é igual a ln(ln x) + C, onde C é a constante de integração.

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