Calcule
54) integral-pi / 2^pi / 2 sin 3 x sin 4 x d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de sin 3x cdot sin 4x no intervalo de -pi2 a pi2. Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de senos em termos de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para multiplicar dois senos:
sin A cdot sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Nesse caso, temos A = 3x e B = 4x. Vamos aplicar essa identidade para simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
sin 3x cdot sin 4x = 12 [cos(3x - 4x) - cos(3x + 4x)] = 12 [cos(-x) - cos(7x)]
Lembrando que cos(-x) = cos x, a expressão fica:
12 [cos x - cos 7x]

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral-pi2^pi2 sin 3x cdot sin 4x , dx = 12 integral-pi2^pi2 [cos x - cos 7x] , dx

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral-pi2^pi2 cos x , dx - integral-pi2^pi2 cos 7x , dx )

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de cos x:
integral cos x , dx = sin x + C
Avaliada de -pi2 a pi2:
sin ( pi2 ) - sin ( -pi2 ) = 1 - (-1) = 2

Passo 7

Agora, a integral de cos 7x:
integral cos 7x , dx = sin 7x7 + C
Avaliada de -pi2 a pi2:
sin ( 7pi2 )7 - sin ( -7pi2 )7 = (-1)7 - 17 = -27

Passo 8

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:
12 ( 2 - ( -27 ) ) = 12 ( 2 + 27 ) = 12 ( 147 + 27 ) = 12 cdot 167 = 87

Resposta

O valor da integral é 87.

Exercícios relacionados