Calcule
54)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de senos em termos de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para multiplicar dois senos:
Nesse caso, temos e . Vamos aplicar essa identidade para simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
Lembrando que , a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de :
Avaliada de a :

Passo 7

Agora, a integral de :
Avaliada de a :

Passo 8

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão:

Resposta

O valor da integral é .

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