Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções trigonométricas:
∫ cos(x) * sin⁴(x) dx
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar usar a substituição u = sin(x) para facilitar a resolução.Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição. Vamos deixar
u = sin(x)
. Assim, precisamos calcular a derivada de u em relação a x, que é du/dx = cos(x)
. Então, du = cos(x) dx
.Passo 3
Agora, observamos que
cos(x) dx
aparece na nossa integral, que substituiremos por du
. Então, a integral original fica:∫ cos(x) * sin⁴(x) dx = ∫ u⁴ du
Passo 4
Agora, vamos integrar
u⁴
em relação a u. A regra básica de integração de potências diz que ∫uⁿ du = (uⁿ⁺¹)/(n+1) + C. Aqui, n = 4.Então, ∫u⁴ du = (u⁵)/5 + C
Passo 5
Por fim, voltamos à variável original substituindo u por sin(x). Então,
(u⁵)/5 + C = (sin⁵(x))/5 + C
Resposta
A integral ∫ cos(x) * sin⁴(x) dx é igual a
(sin⁵(x))/5 + C
, onde C é a constante de integração.Exercícios relacionados
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