Calcule
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções trigonométricas: ∫ cos(x) * sin⁴(x) dx. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar usar a substituição u = sin(x) para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição. Vamos deixar u = sin(x). Assim, precisamos calcular a derivada de u em relação a x, que é du/dx = cos(x). Então, du = cos(x) dx.

Passo 3

Agora, observamos que cos(x) dx aparece na nossa integral, que substituiremos por du. Então, a integral original fica:
∫ cos(x) * sin⁴(x) dx = ∫ u⁴ du

Passo 4

Agora, vamos integrar u⁴ em relação a u. A regra básica de integração de potências diz que ∫uⁿ du = (uⁿ⁺¹)/(n+1) + C. Aqui, n = 4.
Então, ∫u⁴ du = (u⁵)/5 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u por sin(x). Então,
(u⁵)/5 + C = (sin⁵(x))/5 + C

Resposta

A integral ∫ cos(x) * sin⁴(x) dx é igual a (sin⁵(x))/5 + C, onde C é a constante de integração.

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