Calcule
40) integral sin ^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver essa integral, vamos precisar usar fórmulas de redução de potência para transformar os termos ao quadrado em expressões que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de redução de potência para seno e cosseno:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2
Vamos aplicar essas fórmulas aos termos e .

Passo 3

Aplicando a fórmula para sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2 :
cos^2(3x) = 1 + cos(6x)2
E para :

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na integral original:
integral sin^2(2x) cos^2(3x) , dx = integral ( 1 - cos(4x)2 ) ( 1 + cos(6x)2 ) , dx
Simplificando os denominadores:
= 14 integral (1 - cos(4x))(1 + cos(6x)) , dx

Passo 5

Vamos multiplicar os termos dentro dos parênteses:
(1 - cos(4x))(1 + cos(6x)) = 1 cdot 1 + 1 cdot cos(6x) - cos(4x) cdot 1 - cos(4x) cdot cos(6x)
= 1 + cos(6x) - cos(4x) - cos(4x)cos(6x)

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
14 integral (1 + cos(6x) - cos(4x) - cos(4x)cos(6x)) , dx
Vamos separar essa integral em partes:
14 ( integral 1 , dx + integral cos(6x) , dx - integral cos(4x) , dx - integral cos(4x)cos(6x) , dx )

Passo 7

As três primeiras integrais são diretas:
integral 1 , dx = x
integral cos(6x) , dx = sin(6x)6
integral cos(4x) , dx = sin(4x)4
Para a última integral, cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B)2 , vamos usar a identidade do produto de cossenos:

Passo 8

Aplicando a identidade:
cos(4x)cos(6x) = cos(10x) + cos(-2x)2 = cos(10x) + cos(2x)2
Então,
integral cos(4x)cos(6x) , dx = 12 integral cos(10x) + cos(2x) , dx = 12 ( sin(10x)10 + sin(2x)2 )

Passo 9

Agora, substituindo todas as integrais de volta na expressão original:
14 ( x + sin(6x)6 - sin(4x)4 - 12 ( sin(10x)10 + sin(2x)2 ) ) + C
Simplificando:
14x + 124sin(6x) - 116sin(4x) - 180sin(10x) - 116sin(2x) + C

Resposta

Portanto, a integral 14x + 124sin(6x) - 116sin(4x) - 180sin(10x) - 116sin(2x) + C é igual a:

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