Determine o limite:
(a) lim x 2^- x-22-raiz4 x-x^2
a yes conu o cenaminacon tende a
tencle a -2 , enteá pana todu ralon a limite exute.
x^2-1x+1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, precisamos entender como manipular expressões algébricas e utilizar técnicas como a racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando 2 - 22 - raiz4(2) - (2)^2 = 02 - raiz8 - 4 = 02 - raiz4 = 02 - 2 = 00 se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Substituindo diretamente na expressão, temos:
Isso resulta em uma indeterminação do tipo , o que nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a expressão, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é x - 22 - raiz4x - x^2 times 2 + raiz4x - x^22 + raiz4x - x^2 = (x - 2)(2 + raiz4x - x^2)(2)^2 - (raiz4x - x^2)^2 :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
(2)^2 - (raiz4x - x^2)^2 = 4 - (4x - x^2) = 4 - 4x + x^2 = x^2 - 4x + 4
Perceba que x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 é um quadrado perfeito:
(x - 2)(2 + raiz4x - x^2)(x - 2)^2 = 2 + raiz4x - x^2x - 2
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar raiz4x - x^2 = raiz4x - x^2 = raiz-x^2 + 4x = raiz-(x^2 - 4x) = raiz-(x(x - 4)) . Observamos que o denominador ainda se aproxima de 0 quando limx to 2^- 2 + raiz4x - x^2x - 2 , então precisamos analisar o comportamento da expressão.
Vamos reescrever a raiz:
limx to 2^- 2 + 2x - 2 = limx to 2^- 4x - 2
No entanto, para próximo de 2, essa expressão fica bem definida. Então, volta-se à expressão original:
Podemos ver que à medida que se aproxima de 2 pela esquerda, se aproxima de 0 negativamente, e se aproxima de . Então:
Como , , então .

Resposta

O limite é .

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