Sejam f e g definidas pelas relações:
f(x)=rll3 x, & se & x<1, 2, & se & x >= 1 e g(x)=rll2, & se & x<1, 1-x, & se & x >= 1
Quais das funções abaixo são contínuas:
b) f-g

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função é contínua. Estamos trabalhando com funções definidas por partes, e para isso vamos usar conceitos de continuidade de funções. Precisamos analisar os pontos onde as definições das funções mudam, que neste caso é em .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função f(x) = 3x, & se x < 1, 2, & se x >= 1 . Sabemos que:
g(x) = 2, & se x < 1, 1 - x, & se x >= 1
f(x) - g(x) = 3x - 2, & se x < 1, 2 - (1 - x) = 1 + x, & se x >= 1
Então, será:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em , que é o ponto onde as definições mudam. Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função no ponto forem iguais.

Passo 4

Calculando o limite quando limx to 1^- f(x) - g(x) = limx to 1^- (3x - 2) = 3(1) - 2 = 1 se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 5

Calculando o limite quando limx to 1^+ f(x) - g(x) = limx to 1^+ (1 + x) = 1 + 1 = 2 se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 6

Agora, verificamos o valor da função em (f - g)(1) = 2 - (1 - 1) = 2 :

Passo 7

Comparando os limites e o valor da função:
limx to 1^- (f - g)(x) = 1 limx to 1^+ (f - g)(x) = 2 (f - g)(1) = 2
Como o limite pela esquerda é diferente do limite pela direita, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua.

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